Numerische Lösung des parabolischen Hindernisproblems mit einer inneren Punkte Methode

Variationsungleichungen wurden zuerst von Lions und Stampacchia [14] untersucht. Sie treten
in verschiedenen Anwendungen der Mechanik, Thermodynamik und der Kontrolltheorie
auf. Zum Beispiel kann die Wertbestimmung Amerikanischer Call-Optionen als L¨osung einer
parabolischen Variationsungleichung aufgefasst werden (vgl. Dewynne et al. [7]). Eine weitere
Anwendung findet sich im Bereich der Thermodynamik (vgl. Duvaut und Lions [8]). Wird die
Temperaturverteilung u in einem Gebiet Ω w¨ahrend dem Zeitintervall (0, T) mit der Anfangsverteilung
u0 und dem W¨armequellterm f untersucht, so erf¨ullt u(x, t) dieW¨armeleitungsgleichung
u˙ −�u = f in Ω × (0, T),
u(x, 0) = u0(x) inΩ.
(1.1)
Soll die Temperatur an jeder Stelle x ∈ Ωm¨oglichst in einem vorgegebenen Intervall [ψ(x),ψ(x)]
liegen, so muss die Temperatur beim ¨Uberschreiten der Intervallgrenzen durch K¨uhlung bzw.
Heizung korrigiert werden. Dieser Effekt kann mit dem zus¨atzlichen Quellterm
β(u(x, t)) := 

u(x, t) − ψ(x) f¨ur u(x, t) > ψ(x),
u(x, t) − ψ(x) f¨ur u(x, t) < ψ(x),
0 sonst,
in die Gleichung (1.1) eingebaut werden. Der Term β wird auch Strafterm genannt. Wird die
Kapazit¨at der Heizung und der K¨uhlung beliebig vergr¨ossert, d.h. β(u) durch einen Faktor
beliebig verst¨arkt, so wird die Temperaturfunktion u im Limes f¨ur alle x und t im Intervall
[ψ(x),ψ(x)] liegen. Die Funktionen ψ bzw. ψ werden untere bzw. obere Hindernisfunktion
genannt. Im Grenzfall erh¨alt man ein parabolisches Hindernisproblem.
Die L¨osung erf¨ullt die Hindernisbedingung ψ(x) ≤ u(x, t) ≤ ψ(x) und zudem gilt
u˙ −�u − f ≤0 fu¨r u(x, t) = ψ(x),
u˙ −�u − f = 0 fu¨r ψ(x) < u(x, t) < ψ(x),
u˙ −�u − f ≥0 fu¨r u(x, t) = ψ(x).
Beschr¨ankt man sich im betrachteten Funktionenraum auf die konvexe, abgeschlossene Teilmenge
K aller Funktionen v mit ψ(x) ≤ u(x, t) ≤ ψ(x), so kann das Problem (1.2) als Variationsungleichungsproblem
formuliert werden. F¨ur alle v ∈ K ist v(x, t) − ψ(x) ≥ 0 und
v(x, t)−ψ(x) ≤ 0 fast ¨uberall in Ω. Ist D der Definitionsbereich des Operators d
dt, so l¨asst sich
das Problem (1.2) in schwacher Form wie folgt als Variationsungleichungsproblem formulieren:
Finde u ∈ K ∩ D mit
� T
0
( ˙ u − f, v − u) dt + � T
0
(∇u,∇(v − u)) dt ≥ 0 ∀v ∈ K. (1.3)
Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, Variationsungleichungen, die aus Hindernisproblemen entstehen,
numerisch zu l¨osen. Dieses Problem wurde von Scholz im elliptischen [18] und im parabolischen
Fall [19] untersucht. Er wandelt (1.3) mit Hilfe der Penaltymethode in eine Gleichung
um und l¨ost die erhaltene Gleichung numerisch.
In dieser Arbeit wird auf die Penaltymethode verzichtet. Zur Diskretisierung von (1.3) wird die
Variationsungleichung in einen endlichdimensionalen Funktionenraum, den Raum der finiten
Elemente, ¨ubertragen und der zeitliche Ableitungsoperator d
dt durch einen Differenzenquotienten
approximiert. Dadurch entsteht f¨ur jeden Zeitschritt eine diskrete Variationsungleichung.
Sei Kn ⊂ IRn eine konvexe, beschr¨ankte und abgeschlossene Menge und F : Kn → IRn eine
stark monotone Abbildung. Die diskrete Variationsungleichung in IRn hat die Form
y ∈ Kn: (F(y), z − y) ≥ 0 ∀z ∈ Kn. (1.4)
Diese Variationsungleichung wird direkt, also ohne Umwandlung in eine Gleichung, mit Hilfe
einer inneren Punkte Methode numerisch gel¨ost. Es wird eine Punktfolge in Kn konstruiert,
die gegen die L¨osung von (1.4) konvergiert. Der Vorteil dieser Methode gegen¨uber der Penaltymethode
besteht darin, dass jede N¨aherung der L¨osung von (1.4) im Innern von Kn liegt
und somit die zugeh¨orige Funktion die Hindernisbedingung erf¨ullt. Bei der Penaltymethode
ist dies nicht der Fall. Dort wird das Nichterf¨ulltsein der Hindernisbedingung bestraft. Da die
Bestrafung nur f¨ur Funktionen ausserhalb von K wirkt, liegen alle berechneten N¨aherungen
der L¨osung von (1.3) ausserhalb von K.
Die untersuchte Methode zur L¨osung von (1.4) basiert darauf, dass zu jedem inneren Punkt
von Kn eine Kugel in IRn bestimmt werden kann, auf deren Oberfl¨ache dieser innere Punkt
liegt und welche die L¨osung von (1.4) enth¨alt. Ist ein innerer Punkt von Kn gefunden, so kann
der Teil von Kn, in dem die L¨osung nicht liegt, weggeschnitten werden. In der so erhaltenen
Teilmenge von Kn wird erneut ein innerer Punkt berechnet. F¨ur die Bestimmung der inneren
Punkte wird die von Sonnevend [21] eingef¨uhrte Methode der analytischen Zentren verwendet.
Verfahren zur L¨osung von Variationsungleichungen in IRn mit linearen Schnitten wurden von
Goffin, Marcotte und Zhu [11] und von Magnanti und Perakis [16] untersucht. Neu an der
Methode mit quadratischen Schnitten (ACQCM) von L¨uthi und B¨ueler [15] ist, dass die starke
Monotonie der Abbildung F f¨ur die Konstruktion der Schnitte ausgenutzt wird. Wir f¨uhren
in der ACQCM n-fach gewichtete Schnitte ein. Dadurch wird eine bessere Konvergenz im Fall
der Hindernisprobleme erreicht.
Aufbau des Berichtes
Im Kapitel 2 werden zun¨achst die Grundbegriffe und die genaue Problemstellung eingef¨uhrt.
Anschliessend wird die Variationsungleichung in zwei Stufen diskretisiert. Durch die Einf¨uhrung des Raumes der finiten Elemente wird die Variationsungleichung in der Ortsvariablen x diskretisiert.
Es entsteht die semidiskrete Variationsungleichung. Neben einigen Eigenschaften der
semidiskreten L¨osung wird die Existenz und Eindeutigkeit einer L¨osung konstruktiv bewiesen,
indem zu jedem Punkt y(t0) ∈ Kn eine eindeutige Richtung y˙(t0) konstruiert wird. Durch
Diskretisierung der Zeitachse erh¨alt manmit demr¨uckw¨arts Eulerverfahren die diskrete Variationsungleichung
(1.4). Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die Fehlerabsch¨atzung zwischen
der L¨osung der Variationsungleichung (1.3) und der L¨osung der diskreten Variationsungleichung
(1.4).
Das Kapitel 3 befasst sich mit der numerischen Methode zur L¨osung der diskreten Variationsungleichung.
Zuerst wird die geometrische Idee der Methode der quadratischen Schnitte mit
analytischen Zentren (ACQCM) erl¨autert und anschliessend die Konvergenz bewiesen. Zur
Illustration werden einige Beispiele gezeigt.
Im Kapitel 4 weisen wir auf zwei weitere Aspekte hin. Zum einen wird gezeigt, dass bei Variationsungleichungen
die r¨uckw¨arts Eulermethode nicht ohne weiteres durch die allgemeinere
Kollokationsmethode ersetzt werden kann. Zum andern ist die vorgeschlagene Methode so
flexibel, dass sie auch zur L¨osung von semilinearen parabolischen Variationsungleichungen verwendet
werden kann. Ist die Semilinearit¨at monoton, so kann sie sogar in die Konstruktion
der quadratischen Schnitte integriert werden. Dadurch entsteht ein vollst¨andig implizites Verfahren.
Bei einer nicht monotonen Semilinearit¨at muss das Verfahren in diesem Term explizit
sein, d.h. man setzt den Wert des vorangehenden Zeitschrittes ein und betrachtet den Term
als konstant. Es wird der nicht monotone und der monotone Fall einer Semilinearit¨at anhand
eines Beispiels aufgezeigt.